Números grandes (y 2)

En la anterior entrada habíamos visto el googolplex, 10¹⁰¹⁰⁰, un uno seguido de un googol de ceros. El gogolplex es un número inimaginablemente grande, pero aún es posible expresarlo en notación de potencias. Ocasionalmente en matemáticas aparecen números mucho más grandes que el gogolplex, tan grandes que no se pueden expresar en notación científica, y que requieren una notación especial.

De todas las notaciones existentes para números grandes, mi preferida es la notación de la flecha de Donald Knuth. La notación consiste en lo siguiente:

• La multiplicación se puede considerar la iteración de la suma: a * b = a + a + ... + a (b veces).
• La exponenciación se puede considerar la iteración de la multiplicación: a^b = a ↑ b = a * a * ... * a (b veces).
• La exponenciación iterada o tetración (o símplemente "doble flecha") es la iteración de la exponenciación: a ↑↑ b = a ↑ a ↑ ... ↑ a (b veces).

Veamos dos ejemplo: 2 ↑↑ 4 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 = 2²²² = 2¹⁶ = 65 536; 3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ 3 =3³³ = 3²⁷ = 7 625 597 484 987. La notación de exponenciación iterada permite construir rápidamente números grandes, pero aún es posible ir mucho más allá.

• La "triple flecha" es la iteración de la exponenciación iterada: a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ ... ↑↑ a (b veces).
• La "cuádruple flecha" es la iteración de la "triple flecha": a ↑↑↑↑ b = a ↑↑↑ a ↑↑↑ ... ↑↑↑ a (b veces).
• ...

Por ejemplo, 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3 (7 625 597 484 987 veces). Como vemos, este número ya es incomprensiblemente grande.

Sin embargo, aún podemos necesitar números muchísimo más grandes. En general, podemos definir la "flecha n-ésima" como la iteración de la "flecha (n-1)-ésima": a ↑ⁿ b = a ↑^n-1 a ↑^n-1 ... ↑^n-1 a (b veces).

Uno de los números más grandes que aparecen en literatura matemática seria es el número de Graham G, definido de la siguiente manera. G = g₆₄, donde g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3, y donde g_n = 3 ↑^g_n-1 3.

El número de Graham es totalmente inconmensurable. Ni tan solo el número g₁ puede ser escrito como un número ordinario en potencias de 10.

Y, aún y así, cuando estemos en el número de Graham estaremos tan cerca del infinito como cuando estábamos en el número 1.

Números grandes (I)

Como sabéis, para escribir los números grandes que aparecen en física es conveniente usar la notación científica. Así, el número de conexiones neuronales en el cerebro es del orden de 10¹⁴, hay 6·10²² moléculas en un mol de sustancia, hay del orden de 10⁸⁰ partículas elementales en el universo observable, que tiene un volumen de 10¹⁸⁵ volúmenes de Planck.

Éste último es el número más grande que he visto en física, a parte de los números combinatorios que aparecen en física estadística. Estos pueden ser exponencialmente más grandes. Por ejemplo, el número de formas en que las moléculas de aire pueden estar repartidas en la habitación es del orden de 10¹⁰²³. En cualquier caso, las magnitudes físicas que se derivan de estos números siempre pasan por tomar el logaritmo.

Algunos de los números grandes incluso tienen nombre propio. Un googol es 10¹⁰⁰. (El término fue acuñado por Milton Sirotta, un niño de 10 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner, y es el orígen del nombre de "Google"). Un googolplex es 10^googol=10¹⁰¹⁰⁰, es decir, un uno seguido de un googol de ceros. No hay papel suficiente en el universo para escribir un googolplex con todas sus cifras.

Pero evidentemente existen infinitos números más grandes que un googolplex, y alguno de ellos incluso aparecen ocasionalmente en matemáticas. Será el tema de la próxima entrada.

Eleccions europees: els diputats més i menys treballadors

En les properes eleccions europees, no podrem votar als diputats individualment, però com a mínim podem informar-nos de quins diputats van a Europa a treballar i quins hi van a fer-se una jubilació d'or.

En la web parlorama.eu es classifica la feina de tots els eurodiputats europeus d'acord amb el seu "treball" (66% de la "nota") i d'acord amb la seva "assistència" (33% de la nota). La classificació va de 0 a 5 estrelles. Ha estat una web molt polèmica, que alguns europarlamentaris han intentat tancar vàries vegades.

Alguns dels millor situats:

• Raül Romeva, primer representant d''ICV en la llista conjunta amb IU. 5 estrelles. El 7è millor classificat de tots els europarlamentaris.
  
• Ignasi Guardans, ex-cap de llista de CiU. 5 estrelles. (No l'han deixat tornar-se a presentar).
• Maria Badia, primera representant del PSC a les llistes del PSOE. 4,5 estrelles.

Alguns dels pitjor situats:

• Jaime Mayor Oreja, número 1 a la llista del PP. 0,5 estrelles.
  
• Pilar del Castillo, número 5 a la llista del PP. 0,5 estrelles.
• Raimon Obiols, segon representant del PSC a les llistes del PSOE. 1 estrella.
  
• Rosa Díez, líder de UPyD (no es presenta a les europees, però la incloc per la seva rellevància pública). 1,5 estrelles.

És de destacar que dels 18 pitjors europarlamentaris espanyols, 12 són del PP i 6 són del PSOE.

Òbviament el mètode de càlcul de les notes és subjectiu, i no només ens guiarem per aquests paràmetres a l'hora d'anar a votar, però sempre és un paràmetre més a tenir en compte.

Vegeu també la notícia a Público.