Números grandes (y 2)

En la anterior entrada habíamos visto el googolplex, 10¹⁰¹⁰⁰, un uno seguido de un googol de ceros. El gogolplex es un número inimaginablemente grande, pero aún es posible expresarlo en notación de potencias. Ocasionalmente en matemáticas aparecen números mucho más grandes que el gogolplex, tan grandes que no se pueden expresar en notación científica, y que requieren una notación especial.

De todas las notaciones existentes para números grandes, mi preferida es la notación de la flecha de Donald Knuth. La notación consiste en lo siguiente:

• La multiplicación se puede considerar la iteración de la suma: a * b = a + a + ... + a (b veces).
• La exponenciación se puede considerar la iteración de la multiplicación: a^b = a ↑ b = a * a * ... * a (b veces).
• La exponenciación iterada o tetración (o símplemente "doble flecha") es la iteración de la exponenciación: a ↑↑ b = a ↑ a ↑ ... ↑ a (b veces).

Veamos dos ejemplo: 2 ↑↑ 4 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 = 2²²² = 2¹⁶ = 65 536; 3 ↑↑ 3 = 3 ↑ 3 ↑ 3 =3³³ = 3²⁷ = 7 625 597 484 987. La notación de exponenciación iterada permite construir rápidamente números grandes, pero aún es posible ir mucho más allá.

• La "triple flecha" es la iteración de la exponenciación iterada: a ↑↑↑ b = a ↑↑ a ↑↑ ... ↑↑ a (b veces).
• La "cuádruple flecha" es la iteración de la "triple flecha": a ↑↑↑↑ b = a ↑↑↑ a ↑↑↑ ... ↑↑↑ a (b veces).
• ...

Por ejemplo, 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ 3 ↑↑ 3 = 3 ↑↑ ( 3 ↑ 3 ↑ 3 ) = 3 ↑ 3 ↑ ... ↑ 3 (7 625 597 484 987 veces). Como vemos, este número ya es incomprensiblemente grande.

Sin embargo, aún podemos necesitar números muchísimo más grandes. En general, podemos definir la "flecha n-ésima" como la iteración de la "flecha (n-1)-ésima": a ↑ⁿ b = a ↑^n-1 a ↑^n-1 ... ↑^n-1 a (b veces).

Uno de los números más grandes que aparecen en literatura matemática seria es el número de Graham G, definido de la siguiente manera. G = g₆₄, donde g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3, y donde g_n = 3 ↑^g_n-1 3.

El número de Graham es totalmente inconmensurable. Ni tan solo el número g₁ puede ser escrito como un número ordinario en potencias de 10.

Y, aún y así, cuando estemos en el número de Graham estaremos tan cerca del infinito como cuando estábamos en el número 1.

Números grandes (I)

Como sabéis, para escribir los números grandes que aparecen en física es conveniente usar la notación científica. Así, el número de conexiones neuronales en el cerebro es del orden de 10¹⁴, hay 6·10²² moléculas en un mol de sustancia, hay del orden de 10⁸⁰ partículas elementales en el universo observable, que tiene un volumen de 10¹⁸⁵ volúmenes de Planck.

Éste último es el número más grande que he visto en física, a parte de los números combinatorios que aparecen en física estadística. Estos pueden ser exponencialmente más grandes. Por ejemplo, el número de formas en que las moléculas de aire pueden estar repartidas en la habitación es del orden de 10¹⁰²³. En cualquier caso, las magnitudes físicas que se derivan de estos números siempre pasan por tomar el logaritmo.

Algunos de los números grandes incluso tienen nombre propio. Un googol es 10¹⁰⁰. (El término fue acuñado por Milton Sirotta, un niño de 10 años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner, y es el orígen del nombre de "Google"). Un googolplex es 10^googol=10¹⁰¹⁰⁰, es decir, un uno seguido de un googol de ceros. No hay papel suficiente en el universo para escribir un googolplex con todas sus cifras.

Pero evidentemente existen infinitos números más grandes que un googolplex, y alguno de ellos incluso aparecen ocasionalmente en matemáticas. Será el tema de la próxima entrada.

Eleccions europees: els diputats més i menys treballadors

En les properes eleccions europees, no podrem votar als diputats individualment, però com a mínim podem informar-nos de quins diputats van a Europa a treballar i quins hi van a fer-se una jubilació d'or.

En la web parlorama.eu es classifica la feina de tots els eurodiputats europeus d'acord amb el seu "treball" (66% de la "nota") i d'acord amb la seva "assistència" (33% de la nota). La classificació va de 0 a 5 estrelles. Ha estat una web molt polèmica, que alguns europarlamentaris han intentat tancar vàries vegades.

Alguns dels millor situats:

• Raül Romeva, primer representant d''ICV en la llista conjunta amb IU. 5 estrelles. El 7è millor classificat de tots els europarlamentaris.
  
• Ignasi Guardans, ex-cap de llista de CiU. 5 estrelles. (No l'han deixat tornar-se a presentar).
• Maria Badia, primera representant del PSC a les llistes del PSOE. 4,5 estrelles.

Alguns dels pitjor situats:

• Jaime Mayor Oreja, número 1 a la llista del PP. 0,5 estrelles.
  
• Pilar del Castillo, número 5 a la llista del PP. 0,5 estrelles.
• Raimon Obiols, segon representant del PSC a les llistes del PSOE. 1 estrella.
  
• Rosa Díez, líder de UPyD (no es presenta a les europees, però la incloc per la seva rellevància pública). 1,5 estrelles.

És de destacar que dels 18 pitjors europarlamentaris espanyols, 12 són del PP i 6 són del PSOE.

Òbviament el mètode de càlcul de les notes és subjectiu, i no només ens guiarem per aquests paràmetres a l'hora d'anar a votar, però sempre és un paràmetre més a tenir en compte.

Vegeu també la notícia a Público.

Grandes números

La identidad de Euler

está considerada por muchos la fórmula más bella de las matemáticas, pues relaciona los cinco números más importantes de las matemáticas:

• π, la relación entre el diámetro y la circunferencia en el espacio euclidiano. Es el número más importante de la geometria (π ≈ 3.14159).
• e, la base de los logaritmos naturales y la función exponencial. El número más importante del análisis (e ≈ 2.71828).
• i,  la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1, que permite extender los números reales a los complejos. El número más importante del análisis.
  
• 0, el orígen de los números naturales y el elemento neutro de la adición. Juntamente con el 1, el número más importante de la aritmética.
• 1, la base de los números naturales y el elemento neutro de la multiplicación. Júntamente con el 0, el número más importante de la atitmética.

Además, las tres operaciones más importantes, la suma, la multiplicación y la exponenciación, aparecen justamente una vez cada una en esta ecuación.

Bertrand Russell i la prova que 1+1=2

Gran part de les dificultats que travessa el món es deuen a què els ignorants estàn completament segurs, i els intel·ligents, plens de dubtes.

Bertrand Russell

D'aquesta proposició se seguirà, un cop l'addició aritmètica hagi estat definida, que 1 + 1 = 2.

Bertrand Russell, Principia Mathematica

(Bertrand Russell fou un filòsof, matemàtic, historiador i pacifista anglès. És considerat un dels més grans lògics i filòsofs del segle XX. La seva obra cabdal sigui, tal vegada, els Principia Mathematica, escrita juntament amb A. N. Whitehead, en la qual intenta sentar les bases de totes les matemàtiques en la lògica.)

La tregua

Todo estuvo tan bien, que no vale la pena escribirlo.

Mario Benedetti, La tregua

Nos ha dejado Mario Benedetti a los 88 años. Ya apareció un poema de Benedetti en este blog. Benedetti, además de poeta, es el autor de una de mis novelas preferidas, La tregua, el diario de un uruguayo a punto de jubilarse, que en medio de la rutina tiene un momento de "tregua".

La novela se llevó al cine dos veces, en 1975 y en 2003. Aquí tenéis el trailer de la versión 2003:

Per què un violí sona diferent que un piano?

Toquem un La en un piano i un La en un violí. Els dos sons són molt diferents, però tanmateix els percebem tots dos com "la mateixa nota". Què tenen en comú (i de diferent) el so d'un piano i un so d'un violí?

Per començar visualitzem, en grans trets, la forma d'ona d'un La de violí (a dalt) i d'un La de piano (a baix):

Una primera diferència és que el La de violí és una nota sostinguda, i en canvi el La de piano és una nota polsant, que decau en el temps. Fem ara un zoom de la forma d'ona:

Veiem que ambdós formes d'ona són gairebé periòdiques (és una de les coses que distingeix la música del so). El període de les dues formes d'ona és el mateix, però en canvi la forma de l'ona és diferent en cada cas.

Cada ona està de fet composada per la suma de moltes ones de freqüència diferent. Vegem-ho en una representació espectral. Primer per al violí:

L'espectre del violí té un primer pic centrat als 440 Hz (l'anomenat La440), i desprès tenim tots els harmònics, a 440 * 2 = 880 Hz (el La de la octava superior), a 440 * 3 = 1320 Hz, a 440 * 4 = 1760 Hz, etc.

Comparem-ho amb el piano:

El piano té exactament pics en les mateixes posicions: 440 Hz, 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz, etc. Fixem-nos però que l'alçada relativa de cada pic és diferent en el cas del violí i en el cas del piano. Allò que distingeix el piano del violí és la forma exacta, i, sobretot, l'alçada relativa de cada pic.

En resum: dues notes iguals, tocades en dos instruments diferents, emetran ones sonores d'igual període però de diferent forma. En unes altres paraules, dues notes iguals contenen els mateixos harmònics, però en proporcions diferents. La propietat de distingir el contingut harmònic del so és el que s'anomena el timbre musical, i és una propietat única de l'oïda.

(Per ser exactes, en el timbre musical també intervenen, a banda del contingut d'harmònics, altres paràmetres com ara la manera en que el so decau en el temps).