Els nombres hiperreals

Existeix un nombre que sigui més gran que tot nombre de la forma

No en l'àmbit dels nombres reals R, però sí que existeix en l'àmbit dels nombres hiperreals *R. Els nombres hiperreals són una extensió dels nombres reals que incorpora nombres infinits i nombres infinitesimals. 

Un nombre hiperreal ε és infinitesimal positiu si és més petit que qualsevol nombre real:

 

De la mateixa forma, un nombre hiperreal H és infinit positiu si és més gran que qualsevol nombre real:

L'invers d'un nombre infinitesimal és un nombre infinit, i viceversa.

Els nombres infinitessimals verifiquen el principi de transferència, que diu que qualsevol afirmació en lògica de primer ordre vàlida per a nombres reals també és vàlida per a nombres hiperreals. Per exemple, si pels nombres reals tenim que:

aquesta mateixa afirmació s'aplicarà també als nombres hiperreals:

A la pràctica, això vol dir que calculem exactament de la mateixa manera amb nombres hiperreals que amb nombres reals.

Cada nombre real està rodejat d'un "núvol" de nombres hiperreals, que difereixen del nombre real per un infinitesimal. La funció part estàndard (st) assigna a cada nombre hiperreal aquell nombre real que li és més proper. 

Els nombres hiperreals suposen una alternativa rigorosa a l'hora de definir límits i derivades, que hi hi ha persones que troben més intuitiva que la construcció epsilon-delta. Per exemple, en el càlcul amb hiperreals la derivada d'una funció  es defineix com:

per a tot nombre ε infinitesimal.

Hi ha bones raons per creure que l'anàlisi amb nombres hiperreals, en una forma o en una altra, serà la base de l'anàlisi del futur.

Kurt Gödel

Més informació: Wikipedia (anglès), llibre de text (anglès) .