diumenge, 31 de maig de 2009

Grandes números

La identidad de Euler
 e^{i \pi} + 1 = 0\;
está considerada por muchos la fórmula más bella de las matemáticas, pues relaciona los cinco números más importantes de las matemáticas:
  • π, la relación entre el diámetro y la circunferencia en el espacio euclidiano. Es el número más importante de la geometria (π ≈ 3.14159).
  • e, la base de los logaritmos naturales y la función exponencial. El número más importante del análisis (e ≈ 2.71828).
  • i,  la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de -1, que permite extender los números reales a los complejos. El número más importante del análisis.
  • 0, el orígen de los números naturales y el elemento neutro de la adición. Juntamente con el 1, el número más importante de la aritmética.
  • 1, la base de los números naturales y el elemento neutro de la multiplicación. Júntamente con el 0, el número más importante de la atitmética.
Además, las tres operaciones más importantes, la suma, la multiplicación y la exponenciación, aparecen justamente una vez cada una en esta ecuación.

divendres, 29 de maig de 2009

Bertrand Russell i la prova que 1+1=2

Gran part de les dificultats que travessa el món es deuen a què els ignorants estàn completament segurs, i els intel·ligents, plens de dubtes.
Bertrand Russell

Demostració que 1+1=2
D'aquesta proposició se seguirà, un cop l'addició aritmètica hagi estat definida, que 1 + 1 = 2.
Bertrand Russell, Principia Mathematica

(Bertrand Russell fou un filòsof, matemàtic, historiador i pacifista anglès. És considerat un dels més grans lògics i filòsofs del segle XX. La seva obra cabdal sigui, tal vegada, els Principia Mathematica, escrita juntament amb A. N. Whitehead, en la qual intenta sentar les bases de totes les matemàtiques en la lògica.)

dilluns, 18 de maig de 2009

La tregua

Todo estuvo tan bien, que no vale la pena escribirlo.
Mario Benedetti, La tregua


Nos ha dejado Mario Benedetti a los 88 años. Ya apareció un poema de Benedetti en este blog. Benedetti, además de poeta, es el autor de una de mis novelas preferidas, La tregua, el diario de un uruguayo a punto de jubilarse, que en medio de la rutina tiene un momento de "tregua".

La novela se llevó al cine dos veces, en 1975 y en 2003. Aquí tenéis el trailer de la versión 2003:

dijous, 14 de maig de 2009

Per què un violí sona diferent que un piano?

Toquem un La en un piano i un La en un violí. Els dos sons són molt diferents, però tanmateix els percebem tots dos com "la mateixa nota". Què tenen en comú (i de diferent) el so d'un piano i un so d'un violí?

Per començar visualitzem, en grans trets, la forma d'ona d'un La de violí (a dalt) i d'un La de piano (a baix):

Forma d'ona d'un La de violí i d'un La de piano

Una primera diferència és que el La de violí és una nota sostinguda, i en canvi el La de piano és una nota polsant, que decau en el temps. Fem ara un zoom de la forma d'ona:

Detall de la forma d'ona d'un La de violí i d'un La de piano

Veiem que ambdós formes d'ona són gairebé periòdiques (és una de les coses que distingeix la música del so). El període de les dues formes d'ona és el mateix, però en canvi la forma de l'ona és diferent en cada cas.

Cada ona està de fet composada per la suma de moltes ones de freqüència diferent. Vegem-ho en una representació espectral. Primer per al violí:

Representació espectral d'un La440 de violí

L'espectre del violí té un primer pic centrat als 440 Hz (l'anomenat La440), i desprès tenim tots els harmònics, a 440 * 2 = 880 Hz (el La de la octava superior), a 440 * 3 = 1320 Hz, a 440 * 4 = 1760 Hz, etc.

Comparem-ho amb el piano:

Representació espectral d'un La440 de piano

El piano té exactament pics en les mateixes posicions: 440 Hz, 880 Hz, 1320 Hz, 1760 Hz, etc. Fixem-nos però que l'alçada relativa de cada pic és diferent en el cas del violí i en el cas del piano. Allò que distingeix el piano del violí és la forma exacta, i, sobretot, l'alçada relativa de cada pic.

En resum: dues notes iguals, tocades en dos instruments diferents, emetran ones sonores d'igual període però de diferent forma. En unes altres paraules, dues notes iguals contenen els mateixos harmònics, però en proporcions diferents. La propietat de distingir el contingut harmònic del so és el que s'anomena el timbre musical, i és una propietat única de l'oïda.

(Per ser exactes, en el timbre musical també intervenen, a banda del contingut d'harmònics, altres paràmetres com ara la manera en que el so decau en el temps).